{"id":429,"date":"2016-10-02T19:10:51","date_gmt":"2016-10-02T19:10:51","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ephiquant.com\/?p=429"},"modified":"2016-10-02T19:13:43","modified_gmt":"2016-10-02T19:13:43","slug":"optimisation-de-portefeuille-modele-mean-variance-de-markowitz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ephiquant.com\/?p=429","title":{"rendered":"Optimisation de portefeuille : Mod\u00e8le Mean – Variance de Markowitz (avec R)"},"content":{"rendered":"

Sur le march\u00e9 des capitaux, la s\u00e9lection d’un titre ou actif dans lequel investir n’a jamais \u00e9t\u00e9 une question simple. C’est au d\u00e9but des ann\u00e9es 50, que H. Markowitz<\/strong>\u00a0avait propos\u00e9 le crit\u00e8re d’analyse moyenne – variance et \u00a0d\u00e8s lors, avait jet\u00e9 les bases de ce qui sera appel\u00e9 plus tard la Th\u00e9orie moderne du portefeuille<\/strong><\/span>. En effet, Markowitz<\/strong> part du principe que les rendements g\u00e9n\u00e9r\u00e9s par un titre ou actif sont des variables al\u00e9atoires, ensuite il propose les deux premiers moments \u00e0 savoir la moyenne et la variance comme les crit\u00e8res de mesure respectifs de l’esp\u00e9rance et du risque per\u00e7us par un investisseur rationnel. Mieux encore,\u00a0l’\u00e9tude de la corr\u00e9lation<\/a> entre les titres, l\u2019am\u00e8ne \u00e0 d\u00e9velopper la strat\u00e9gie de diversification du portefeuille<\/strong><\/span>\u00a0souvent\u00a0plus expressive sous l’adage “Ne jamais mettre tous les yeux dans un m\u00eame panier<\/em>“. Intuitivement, il s’agit de combiner des titres ou actifs corr\u00e9l\u00e9s n\u00e9gativement, ce qui permet de r\u00e9duire la variance donc le risque du portefeuille(un portefeuille signifie simple une combinaison ou ensemble d’actifs) \u00a0sans \u00e9roder le rendement esp\u00e9r\u00e9. Conceptuellement, c’est bien faisable de cr\u00e9er un portefeuille ou de combiner des actifs mais comme l’investisseur est suppos\u00e9 rationnel, ce dernier ne s\u2019int\u00e9ressera qu’\u00e0 la combinaison ou portefeuille (j’abandonne ici le terme combinaison laissons ce concept aux micro-\u00e9conomistes et j’adopte pour de bon le terme portefeuille<\/strong>) offrant le meilleure rendement<\/strong> pour un niveau de risque qu’il tol\u00e8re ou inversement. On dit d’un tel portefeuille qu’il est efficient<\/strong><\/span>.<\/p>\n

Ainsi,\u00a0le probl\u00e8me de l’investisseur face \u00e0 plusieurs titre serait de d\u00e9terminer la proportion de ses fonds \u00e0 investir dans chaque\u00a0titre pour former le portefeuille efficient<\/strong> qui correspond au mieux \u00e0 ses go\u00fbts vis-\u00e0-vis du risque. Dans cet article, nous allons apprendre comment avec R<\/strong> r\u00e9soudre des probl\u00e8me d’optimisation de portefeuille\u00a0selon le mod\u00e8le Markowitzien<\/strong>.<\/p>\n

D\u00e9finition, formulation et r\u00e9solution math\u00e9matiques<\/h3>\n

Consid\u00e9rons un march\u00e9 de \"N\" titres, pour chaque titre\u00a0ou actif\u00a0\"A_j\", on dispose de \"T\" rendements historiques not\u00e9s\u00a0\"R_j = [r_{j1}\quad r_{j2}\quad r_{j3}\quad \dots\quad r_{ji}\quad \dots\quad r_{jT}]\" ou de fa\u00e7on\u00a0g\u00e9n\u00e9rale, pour l’ensemble des titres, on \u00a0a : <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ R=\begin{pmatrix}<\/p>\n

o\u00f9 \"R\" est la matrice des rendements des \"N\" titres collect\u00e9s sur \"T\" p\u00e9riode. On peut donc d\u00e9terminer\u00a0le vecteur colonne des esp\u00e9rances math\u00e9matiques \"\mu\" de dimension \"Nx1\" et la matrice sym\u00e9trique de variance \"\Sigma\" de dimension \"NxN\" comme ceci : <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\mu=E[R]=E\left[ \left( \begin{array}{c} R_{1}\\ R_{2}\\ \vdots \\ R_{N} \end{array} \right) \right]=\left( \begin{array}{c} E[R_{1}] \\ E[R_{2}] \\ \vdots \\ E[R_{N}] \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \mu_{1} \\ \mu_{2}\\ \vdots \\ \mu_{N} \end{array} \right) \]\"<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[\begin{split}\Sigma=Var[R] &=\begin{pmatrix}<\/p>\n

o\u00f9 nous avons sur la diagonale les variance de chaque titre. Il faut \u00e9galement noter que notre matrice de covariance ou de variance est sym\u00e9trique c’est-\u00e0-dire que \u00a0\"\Sigma=\Sigma^\top\". Ainsi, il est possible de construire un portefeuille \"P(\omega)\" avec :\u00a0<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \omega = \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \vdots \\ \omega_N \end{pmatrix} \]\"<\/p>\n

qui repr\u00e9sente le vecteur des poids de chaque titre ou actif dans le portefeuille dont la somme doit toujours \u00eatre \u00e9gale \u00e0 1 autrement dit \"\omega^\top u=1\" avec :\u00a0<\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ u = \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \]\"<\/p>\n

On peut exprimer l’esp\u00e9rance \"\mu_p\" et la variance \"\sigma^{2}_p\" du portefeuille\u00a0comme ceci : <\/p>\n

  <\/span>   <\/span>\"\[ \begin{cases}\mu_p= \omega^\top\mu \\ \Sigma_p=\omega^\top\Sigma\omega \end{cases} \]\"<\/p>\n

Le d\u00e9cor \u00e9tant plant\u00e9, nous allons formaliser 3 types de questions que se pose un investisseur \u00e0 l’aune de la Th\u00e9orie de Markowitz.<\/strong>